熱応力の計算

 

 

 

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熱応力σは両端に壁がなければ生じる寸法変化Δlを、力Fを加えて元の長さまで戻すことによって生じると考えます。

 

フックの法則、力と応力の関係より、

 

\(σ= εE\)・・・①

 

\(F= σA\)・・・②

 

ですので、物体に生じているひずみεが分かれば、熱応力と生じる力を導くことができます。

 

 

温度変化により物体の長さはl⇒l+Δlになったので、

 

\(ε=-\frac{Δl}{l+Δl}\)・・・③

 

となります(圧縮方向なので符号はマイナス)。

 

 

Δlは線膨張係数αを使って以下のように表すことができます。

 

\(Δl= αΔTl\)・・・④

 

 

④を③に代入すると、

 

\(ε=-\frac{αΔTl}{l+αΔTl}\)・・・⑤

 

 

分母分子をlで割ると、

 

\(ε=-\frac{αΔT}{1+αΔT}\)・・・⑥

 

 

αは非常に小さな値(αT≪1)ですので、1+αΔT≒1と近似することができます。

 

\(ε=-αΔTl\)・・・⑦

 

 

①、②、⑦より

 

\(σ=-αΔTE\)・・・⑧

 

\(F=-αΔTEA\)・・・⑨

 

 

少し不思議な感じもしますが、熱応力と生じる力は、物体の長さに無関係であることが分かります。

 

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<参考文献>
日本機械学会(編) 『機械工学便覧 基礎編 材料力学』

 

最終更新 2017年9月9日

 

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